\documentclass[14pt]{extreport}
\usepackage{gost}


%Тут можно вставить дополнительные пакеты

% команда, которая предоставляет удобные возможности для оформления математических формул, например, удобную вёрстку многострочных формул, масштабирующийся текст в формулах, формулы в рамках и др.
\usepackage{mathtools}
% команда, которая позволяет принудительно настроить поведение всех математических сред при отображении формул
\everymath{\displaystyle}

% пакет определяет макросы и среды для создания теорем-подобных структур для использования стиля plain
\usepackage{amsthm}
% стиль по умолчанию для оформления теорем, предложений и лемм
\theoremstyle{plain}
% команда используется для определения теорем
\newtheorem*{theorem*}{Теорема}

% пакет для масштабирования рисунков и отрисовки графиков, рисования линий и тд.
\usepackage{tikz}
% пакеты для вставки программного кода, но можно использовать и другие
\usepackage{minted}
\usepackage{alltt}
\usepackage{multirow}
\usepackage{booktabs}
\usepackage{longtable}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[russian]{babel}

% констуркция для автоматического переноса математических символов при необходимости
% применять следующим образом: \?=, \?+, \?=- и тд, на третьем месте указывается знак, который нужно перенести на след строку
\begingroup
\catcode`\+\active\gdef+{\mathchar8235\nobreak\discretionary{}{\usefont{OT1}{cmr}{m}{n}\char43}{}}
\catcode`\-\active\gdef-{\mathchar8704\nobreak\discretionary{}{\usefont{OMS}{cmsy}{m}{n}\char0}{}}
\catcode`\=\active\gdef={\mathchar12349\nobreak\discretionary{}{\usefont{OT1}{cmr}{m}{n}\char61}{}}
\catcode`\<\active\gdef<{\mathchar"313C\nobreak\discretionary{}{\usefont{OML}{cmm}{m}{n}\char60}{}}
\catcode`\>\active\gdef>{\mathchar"313E\nobreak\discretionary{}{\usefont{OML}{cmm}{m}{n}\char62}{}}
\endgroup
\def\times{\mathchar8706\nobreak\discretionary{}{\usefont{OMS}{cmsy}{m}{n}\char2}{}}
\def\subset{\mathchar"321A\nobreak\discretionary{}{\usefont{OMS}{cmsy}{m}{n}\char26}{}}
%\supset,\subseteq,\notin
\def\supset{\mathchar"321B\nobreak\discretionary{}{\usefont{OMS}{cmsy}{m}{n}\char27}{}}
\def\subseteq{\mathchar"3212\nobreak\discretionary{}{\usefont{OMS}{cmsy}{m}{n}\char18}{}}
\def\neq{\not=\nobreak\discretionary{}{\usefont{OMS}{cmsy}{m}{n}\char54\usefont{OT1}{cmr}{m}{n}\char61}{}}
\def\sim{\mathchar"3218\nobreak\discretionary{}{\usefont{OMS}{cmsy}{m}{n}\char24}{}}
\def\in{\mathchar"3232\nobreak\discretionary{}{\usefont{OMS}{cmsy}{m}{n}\char50}{}}
\def\to{\mathchar"3221\nobreak\discretionary{}{\usefont{OMS}{cmsy}{m}{n}\char33}{}}
\def\?#1{#1\nobreak\discretionary{}{\hbox{$\mathsurround=0pt #1$}}{}}



\begin{document}
% подключаемый файл титульного листа назвать можете как хотите, но на латинице для корректной работы кода
\includepdf[pages={1}]{titulDiplom.pdf}

% автособирамое оглавление
\tableofcontents

\abbreviations

Структурный элемент «Обозначения и сокращения содержит перечень обозначений и сокращений, применяемых в работе.


\definitions

Структурные элементы «Определения», «Обозначения и сокращения, «Приложение» не являются обязательными, их включают в работу по усмотрению исполнителя.

Структурный элемент «Определение» содержит определения, необходимые для уточнения или установления терминов, используемых в работе.

\abbrevdef

Допускается определения, обозначения и сокращения приводить в одном элементе «Определения, обозначения и сокращения».


% Введение начинается с нового листа.
\intro

Структурными элементами курсовой работы и выпускной квалификационной работы (далее -- работы) являются:
\begin{itemize}
\item титульный лист;
\item содержание;
\item определения;
\item обозначения и сокращения;
\item введение;
\item основная часть;
\item заключение;
\item список использованных источников;
\item приложение.
\end{itemize}

Введение должно включать:
\begin{itemize}
\item общую информацию о состоянии разработок по выбранной теме;  
\item обоснование актуальности темы, связь данной работы с другими научно-исследовательскими работами;
\item цель работы и решаемые задачи;
\item краткое описание содержания каждого из разделов основной части работы.
\end{itemize} 


\chapter{Общие положения\label{chapter2}}


Курсовая работа и выпускная квалификационная работа (далее --
работа) должна быть выполнена с использование компьютера и принтера на одной
стороне листа белой бумаги формата А4 шрифтом Times New Roman через полтора
интервала. 

Цвет шрифта должен быть черным, высота цифр, букв и других знаков -- размером 14
пт (кеглей).

Текст работы следует печатать, соблюдая следующие размеры полей: левое -– 25 мм,
правое -– 15 мм, верхнее и нижнее –- 20 мм.

Объем курсовой работы (проекта), как правило, составляет \textbf{20-30} страниц, объем
выпускной квалификационной работы бакалавра, специалиста –  \textbf{40-60} страниц,
магистра – \textbf{50-90} страниц.

Количество страниц, отводимых на каждый раздел работы, определяется студентом по
согласованию с научным руководителем (руководителем). 
Допускается использовать компьютерные возможности для акцентирования внимания на
определениях, терминах, формулах и других важных особенностях путем применения
разных начертаний шрифта (курсив, полужирный, полужирный курсив, разрядка и
др.).  

Опечатки, описки и графические неточности, орфографические,
синтаксические и речевые ошибки, обнаруженные в процессе выполнения работы,
допускается исправлять закрашиванием корректором и нанесением на том же месте
исправленного текста (графики).

Повреждения листов, помарки, следы не полностью удаленного прежнего текста
(графики), орфографические, синтаксические и речевые ошибки не допускаются.

Работа должна быть подписана исполнителем. Подпись и дата ставятся
исполнителем после списка использованных источников. 

\section{Изложение текста}

Текст работы должен быть кратким, четким, логически последовательным и не
допускать двусмысленных толкований.

В работе должны применяться научные и научно-технические термины,
обозначения и определения, установленные соответствующими стандартами, а при их
отсутствии - общепринятые в научной и научно-технической литературе.
Если в работе принята специфическая терминология, то перечень терминов с
соответствующими разъяснениями должен быть приведен в структурном элементе
«Определения». При этом перед началом перечня указывают: «В работе принята
следующая специфическая терминология:»

В тексте работы не допускается применять:
\begin{itemize}
\item обороты разговорной речи, техницизмы, профессионализмы;
\item для одного и того же понятия различные научные и научно-технические термины,
близкие по смыслу (синонимы), если синонимические обозначения не являются
общепринятыми;
\item произвольные словообразования;
\item сокращения слов, кроме тех, которые установлены правилами русской орфографии,
стандартами, а также в данной работе.
\end{itemize}

Перечень допускаемых сокращений слов установлен в ГОСТ 2.316.
Если в работе принята особая система сокращения слов или наименований, то их
перечень приводят в структурном элементе «Обозначения и сокращения». При этом
перед началом перечня указывают: «В работе принята следующая особая система
сокращений и наименований:»

Используемые в работе условные буквенные обозначения, изображения или
знаки должны соответствовать принятым в действующих стандартах.
При необходимости применения условных обозначений, изображений или знаков, не
установленных действующими стандартами, их следует пояснять в тексте или в
перечне обозначений с указанием: «В работе приняты следующие условные
обозначения, изображения или знаки:».

В работе следует применять стандартизованные единицы физических величин,
их наименования и обозначения в соответствии с ГОСТ 8.417.

\section{Заголовки}

Заголовки должны четко и кратко отражать содержание разделов, подразделов,
пунктов и подпунктов.
Недопустимы формулировки заголовков разделов, подразделов, пунктов или
подпунктов идентичные друг другу и названию работы в целом.

Заголовки разделов, подразделов, пунктов и подпунктов следует печатать с
абзацного отступа, с прописной буквы, полужирным шрифтом, без точки в конце и
подчеркивания. 

Если заголовок состоит из двух предложений, их разделяют точкой. Переносы слов
в заголовках не допускаются.

\section{Примечания и примеры}

Примечания приводят в работе, если необходимы пояснения или справочные
данные к содержанию текста, таблиц или графического материала.

Примечания следует помещать непосредственно после текстового, графического
материала или в таблице, к которым относятся эти примечания, и печатать с
прописной буквы с абзаца. 

Если примечание одно, то после слова «Примечание» ставится тире и примечание
печатается тоже с прописной буквы. Одно примечание не нумеруют. Несколько
примечаний нумеруют по порядку арабскими цифрами. Примечание к таблице помещают
в конце таблицы над линией, обозначающей окончание таблицы.

Примеры

Примечание – \underline{\ldots}

Примечания

1 \underline{\ldots}

2 \underline{\ldots}

Примеры размещают, оформляют и нумеруют так же, как и примечания.


\section{Ссылки и сноски\label{section4}}

Ссылки могут относиться к использованным источникам или элементам работы.

Ссылки на использованные источники~\cite{bib1} следует указывать порядковым номером
библиографического описания~\cite{bib2, bib3, bib4, bib5} 
источника в списке использованных источников.
Порядковый номер ссылки заключают в квадратные скобки~\cite{bib6, bib7}. 
Нумерация ссылок ведется
арабскими цифрами в порядке их приведения в тексте независимо от деления  на
разделы. Ссылаться следует на источник~\cite{bib8, bib9, bib10, bib11, bib12} в целом или его разделы и приложения.
Ссылки на подразделы, пункты, таблицы и иллюстрации источника не допускаются.


При ссылке на элементы работы (разделы, подразделы, пункты, подпункты)
указываются их номера, например, «в соответствии с подразделом~\ref{section4} настоящей работы» или «в соответствии с разделом 2».

% либо можно продвинуто сослаться на нужный раздел или подраздел, прописав ссылку на него в tex как показано в примере: «в соответствии с подразделом~\ref{section4} настоящей работы», - но можно и прописать текстом, как указано во 2-м примере «в соответствии с разделом 2».

При ссылках на стандарты и технические условия указывают только их обозначение,
при этом допускается не указывать год их утверждения при условии полного
описания стандарта и технических условий в списке использованных источников.
6.7.2 Если необходимо пояснить отдельные данные, приведенные в тексте, то эти
данные следует обозначать надстрочными знаками сноски (подстрочная
библиографическая ссылка – ГОСТ Р 7.0.5).

Сноски в тексте располагают с абзацного отступа в конце страницы, на которой они
обозначены, и отделяют от текста короткой тонкой горизонтальной  линией с левой
стороны. Сноски к данным, представленным в таблице, располагают в конце таблицы
 под линией, обозначающей окончание таблицы.

Знак сноски ставят непосредственно после того слова, числа, символа,
предположения, к которому дается пояснение, и перед текстом пояснения. Знак
сноски выполняют арабскими цифрами и помещают на уровне верхнего обреза шрифта.

Пример – «\ldots сходящаяся волна\footnote{ссылка на сходящуюся волну}\ldots»

Нумерация сносок может вестись отдельно для каждой страницы или быть сплошной
внутри раздела (главы).

\section{Иллюстрации}

К иллюстрациям относят чертежи, графики, схемы,
диаграммы, фотоснимки. Их следует располагать непосредственно после текста , в
котором они упоминаются впервые, или на следующей странице.

Иллюстрации могут быть в компьютерном исполнении, в том числе и цветные.

На все иллюстрации должны быть даны ссылки в тексте.

Иллюстрации должны иметь наименование и пояснительные данные
(подрисуночный текст). Слово «Рисунок» и наименование помещают после
пояснительных данных и располагают следующим образом: Рисунок 1 - Сходящийся цилиндрический/сферический поршень с постоянной скоростью.

При ссылках на иллюстрации следует писать «... в соответствии с рисунком 1» или «... (см. рисунок 1)»
при сквозной нумерации и «... в соответствии с рисунком~\ref{fig11}» или «... (см. рисунок~\ref{fig11})» при нумерации в пределах раздела.

% снова обращаю ваше внимание, что на рисунки можно сослаться, указав команду в окружении рисунка: \label{fig11}, - где {fig11} - присвоенная вами ссылка

\section{Таблицы}
Таблицы применяют для лучшей наглядности и удобства сравнения показателей. 
Цифровой материал, как правило, оформляют в виде таблиц.

Таблицу следует располагать непосредственно после текста, в котором она упоминается впервые, или на следующей странице.
Наименование таблицы, при его наличии, должно отражать ее содержание, быть точным, кратким. 

На все таблицы должны быть ссылки в тексте. При ссылке следует писать слово «таблица~\ref{tab_weight}» с указанием ее номера.

\begin{table}[H]
\caption{Расчет весомости параметров ПП}
\label{tab_weight}
\centering
    \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline \multirow{2}{*}{Параметр $x_i$} & \multicolumn{4}{c|}{Параметр $x_j$} & 
        \multicolumn{2}{c|}{Первый шаг} & \multicolumn{2}{c|}{Второй шаг} \\
    \cline{2-9} & $X_1$ & $X_2$ & $X_3$ & $X_4$ & $w_i$ & 
        ${K_\text{в}}_i$ & $w_i$ & ${K_\text{в}}_i$ \\
    \hline $X_1$ & 1 & 1 & 1.5 & 1.5 & 5 & 0.31 & 19 & 0.32 \\
    \hline $X_2$ & 1 & 1 & 1.5 & 1.5 & 5 & 0.31 & 19 & 0.32 \\
    \hline $X_3$ & 0.5 & 0.5 & 1 & 0.5 & 2.5 & 0.16 & 9.25 & 0.16 \\
    \hline $X_4$ & 0.5 & 0.5 & 1.5 & 1 & 3.5 & 0.22 & 12.25 & 0.20 \\
    \hline \multicolumn{5}{|c|}{Итого:} & 16 & 1 & 59.5 & 1 \\
    \hline
    \end{tabular}
\end{table}

Таблицу с большим числом строк допускается переносить на другой лист. При
переносе части таблицы на другой лист слово «Таблица~\ref{tab_weight}», ее номер и наименование указывают один раз слева над первой частью таблицы, а над другими частями также слева пишут слова "Продолжение таблицы" и указывают номер таблицы.

Допускается нумеровать таблицы в пределах раздела. В этом случае номер таблицы
состоит из номера раздела и порядкового номера таблицы, разделенных точкой.

Таблицы каждого приложения обозначают отдельной нумерацией арабскими цифрами с
добавлением перед цифрой обозначения приложения «таблица~\ref{tab_weight}». 

\section{Список использованных источников}
Список использованных источников должен содержать сведения об источниках,
использованных в работе. 

Количество источников при выполнении курсовой работы (проекта) составляет, как
правило, не менее 10, а при выполнении выпускной квалификационной работы –- не
менее 20.

\section{Приложения}
В приложения рекомендуется включать материалы, связанные с выполненной
работой, которые по каким-либо причинам не могут быть включены в основную часть.
Приложениями могут быть:
\begin{itemize}
\item промежуточные математические доказательства, формулы и расчеты;
\item таблицы вспомогательных цифровых данных;
\item протоколы испытаний;
\item описание аппаратуры и приборов, применяемых при проведении экспериментов,
измерений и испытаний;
\item заключение метрологической экспертизы;
\item инструкции, методики, разработанные в процессе выполнения работы;
\item иллюстрации вспомогательного характера;
\item акты внедрения результатов работы;
\item примеры, не вошедшие в работу;
\item своды источников;
\item другие материалы.
\end{itemize}

\chapter{Содержание основной части}

Основная часть может содержать:
\begin{enumerate}
\item обоснование направления исследования, методы решения задач и их сравнительную
оценку, описание выбранной методики проведения работы;
\item процесс теоретических и (или) экспериментальных исследований, включая
определение характера и содержания теоретических исследований, методы
исследований, методы расчета, обоснование необходимости проведения
экспериментальных работ, принципы действия разработанных объектов, их
характеристики;
\item анализ текстов, фактов, процессов, составляющих проблематику работы;
\item обобщение и оценку результатов исследований, включающих оценку полноты
решения поставленных задач и предложения по дальнейшим направлениям работ,
оценку достоверности полученных результатов, технико-экономической
эффективности их внедрения и их сравнение с аналогичными результатами
отечественных и зарубежных работ, обоснование необходимости проведения
дополнительных исследований, отрицательные результаты, приводящие к
необходимости прекращения дальнейших исследований.
\end{enumerate}

Основная часть обычно состоит из разделов. В конце каждого раздела рекомендуется
делать выводы, которые должны быть краткими и содержать конкретную информацию о
полученных результатах.


\chapter{Пример математического текста}

\section{Постановка задачи. Основные уравнения и граничные условия}

Рассматривается цилиндрический/сферический поршень начального радиуса $R_0$, заполненный запыленным газом. В момент времени $t = 0$ поршень начинает сжиматься с постоянной скоростью $W$, где $W$ больше акустической скорости среды; при этом возникает цилиндрическая/сферическая сильная ударная волна, положение которой должно быть определено в соответствии с рисунком~\ref{fig11}. 

Для невозмущенной среды предполагаются следующие начальные
условия:
\begin{equation}
    \rho = \rho_{c} (r/R_0)^{\delta}, \quad p=p_0, \quad v=0,
\label{l1}
\end{equation}
где $r$, $p$, $\rho$ и $v$ расстояние частицы от центра/оси симметрии, давление, плотность и внешнюю радиальную скорость пылевого газа, соответственно, а $\rho_{c}$ и $p_0$ и $\delta$ -- соответственно являются положительными константами.

\begin{figure}[h]
\center{\includegraphics[width=0.5\linewidth]{123}}
\caption{Сходящийся цилиндрический/сферический поршень с постоянной скоростью}
\label{fig11}
\end{figure}

Фундаментальные уравнения для цилиндрических или сферических симметричных нестационарных адиабатических течений запыленного газа (смесь мелких пылинок и идеального газа) в одномерном случае можно записать как

\begin{gather}
\rho_{t}+v \rho_{r}+\rho v_{r}+\frac{\alpha \rho v}{r}=0, \label{l2} \\
v_{t}+v v_{r}+\frac{1}{\rho} p_{r}=0, \label{l3} \\
p_{t}+v p_{r}-a^{2}\left(\rho_{t}+v \rho_{r}\right)=0, 
\label{l4}
\end{gather}
где значения $\alpha=1$ и 2 соответствуют цилиндрическим и сферичесиким симметричным потокам запыленного газа, соответственно. Независимые переменные $\gamma$ и $t$ обозначают коэффициент адиабаты и время, соответственно. Величина $a$ обозначает скорость звука в запыленном газе, заданную в виде $a=\sqrt{\frac{\Gamma p}{(1-Z) \rho}}$, где $Z=V_{s p} / V_{\text {mix}}$ -- объемная доля с $V_{s p}$ и $V_{\text {mix}}$ как объемное расширение твердых частиц и общего объма смеси соответственно. Если параметр $K_{p}=M_{s p} / M_{\text {mix }}$ обозначает массовую долю (концентрацию) твердых частиц в смеси с $M_{s p}$ и $M_{\text {mix}}$ как общую массу твердых частиц и смеси, соответственно, то удельная теплота смеси при постоянном давлении определяется $C_{p m}=K_{p} C_{s p}+\left(1-K_{p}\right) C_{p}$, где $C_{p}$ -- удельная теплоемкость идеального газа при постоянном давлении, а $C_{s p}$ -- удельная теплоемкость твердых частиц. Кроме того, удельная теплоемкость смеси при постоянном объеме равна $C_{v m}=K_{p} C_{s p}+\left(1-K_{p}\right) C_{v}$, где $C_{v}$ -- удельная теплоемкость сгорания идеального газа при постоянном объеме. Поэтому отношение удельных теплоемкостей смеси (пылевидного газа) дается коэффициентом Грюнайзера $\Gamma$ как $\Gamma=\frac{C_{p m}}{C_{v m}}=\frac{\gamma(1+\lambda \sigma)}{1+\lambda \sigma \gamma}$, где $\lambda=\frac{K_{p}}{1-K_{p}}, \sigma=\frac{C_{s p}}{C_{p}}$, и $\gamma=\frac{C_{p}}{C_{v}}$. Уравнение состояния запыленного газа определяется следующим образом

\begin{gather}
p=\frac{\left(1-K_{p}\right) \rho \mathcal{R} \mathcal{T}}{(1-Z)}, 
\label{l5}
\end{gather}
где $\mathcal{T}$ -- температура смеси, а $\mathcal{R}$ -- газовая постоянная. Связь между величинами $K_{p}$ и $Z$ определяется следующим образом
\begin{gather}
Z=\frac{K_{p}}{\rho_{s p}} \rho, 
\label{l6}
\end{gather}
где $\rho_{s p}$ обозначает видовую плотность твердых частиц. Можно отметить, что уравнения состояния идеального газа и твердых частиц смеси задаются так $p_{g}=\bar{\rho}_{g} \mathcal{R} \mathcal{T}$ и $\rho_{s p}=$ \textit{const}, соответственно, где $p_{g}$ и $\bar{\rho}_{g}$ представляют собой парциальное давление и парциальную плотность газа в смеси. В равновесном потоке $K_{p}$ -- постоянная величина по всему полю потока ~\cite{bib13}. Соответственно, из ~(\ref{l6}) получаем
\begin{gather}
    \frac{Z}{\rho}=\theta,
\label{l7}
\end{gather}
где $\theta=K_{p} / \rho_{s p}$ -- константа. Кроме того имеем соотношение
\begin{gather}
    Z=\frac{K_{p}}{\left(1-K_{p}\right) G+K_{p}},
\label{l8}
\end{gather}
где $G=\frac{\rho_{\text {sp }}}{\rho_{g}}$ определяет отношение плотности твердых частиц к видовой плотности газа в смеси. Поэтому выражение для начальной объемной доли твердых частиц $Z_0$ дается из ~(\ref{l8}) следующим образом:
\begin{gather}
    Z_{0}=\frac{K_{p}}{\left(1-K_{p}\right) G_{0}+K_{p}},
\label{l9}
\end{gather}
где $G_{0}=\frac{\rho_{s p}}{\rho_{g_{0}}}$ -- отношение плотности твердых частиц к начальной видовой плотности газа в смеси. $K_{p}$ и $G_{0}$ являются основными параметрами модели пылевого газа, которые описывают влияние пылевого заряда. Имеется диапазон $G_{0}$ от 1 до $\infty$, и когда $G_{0} \rightarrow \infty, V_{s p} \rightarrow 0$ ~\cite{bib14}. Случай $K_{p}=0$ соответствует идеальному газу (т.е. беспылевой случай). Отклонение поведения запыленного газа по сравнению с незапыленным (или идеальным) газом обозначается сжимаемостью, которая определяется следующим образом:
\begin{gather}
    \tau=\frac{1}{\rho a^{2}}=\frac{1-Z}{\Gamma p}.
\label{l10}
\end{gather}

Объемная доля твердых частиц снижает сжимаемость смеси, в то время как масса твердых частиц увеличивает общую массу и, следовательно, может увеличить инерцию смеси. Это может быть показано в двух предельных случаях смеси в начальном состоянии.

Для $G_{0}=1$ следует, что $Z_{0}=K_{p}, \rho_{0} \?= \frac{p_{0}}{\mathcal{R T}}$ и $\tau_{0}=\frac{1-Z_{0}}{\Gamma p_{0}}$; то есть увеличение объемной доли твердых частиц (которая равна $K_{p}$ для $G_{0}=1$) линейно снижает сжимаемость смеси в исходном состоянии. В другом предельном случае, то есть при $G_{0} \rightarrow \infty$, плотность твердых частиц  $\rho_{s p} \rightarrow \infty$ и объемное расширение твердых частиц $V_{s p} \rightarrow 0$. В соответствии с уравнением ~(\ref{l9}), в этом случае объемная доля $Z_0$ равна нулю. В этом случае сжимаемость $\tau_{0}=\frac{1}{\Gamma p_{0}}$ не зависит от присутствия твердых частиц. Твердые частицы способствуют только увеличению массы и инерции смеси с структурой мелких твердых частиц и идельного газа.

Условия на скачке Ренкина-Гюгонио (R–H) сразу за фронтом сильной ударной волны $[r=R(t)]$ даются в виде
\begin{gather}
    \rho=\frac{\Gamma+1}{\Gamma-1+2 Z_{0}} \rho_{0}, \quad v=\frac{2\left(1-Z_{0}\right)}{\Gamma+1} \dot{R}, \quad p=\frac{2\left(1-Z_{0}\right)}{\Gamma+1} \rho_{0} \dot{R}^{2},
\label{l11}
\end{gather}
где $\dot{R}(t)$ -- скорость ударной волны.

Условие отсутствия потока через поршень даст
\begin{gather}
    v=-W \quad \text { при } \quad r=R_{0}-W t.
\label{l12}
\end{gather}


Здесь $v$ -- скорость газа относительно фиксированных координат, в которых газ находится в состоянии покоя в
контейнере радиусом $R_0$, а $\rho_0$ - невозмущенная плотность смеси.
Для простоты измеряется расстояние $x=R_{0}-r$ и соответствующая скорость $u=-v$, направленная внутрь. 

Введем безразмерные переменные, присваивая им длину $R_{0}$, плотность -- $\rho_{c}$, давление -- $\rho_{c} W^{2}$, скорость --  $W$, а время -- $R_{0}/W$. Тогда система дифференциальных уравнений ~(\ref{l2})-~(\ref{l4}) в терминах новой переменной $\xi$ примет вид


\begin{gather}
\frac{\partial \rho}{\partial \xi} \frac{(\xi \gamma + 2\mathcal{J} - \xi)}{(\gamma - 1)t} + \frac{\partial \rho}{\partial t} + \frac{\partial \rho}{\partial \xi} \frac{2   u}{(\gamma - 1)Wt} + \notag \\
+ \frac{\partial u}{\partial \xi} \frac{2 \rho}{(\gamma - 1)Wt} - \frac{\alpha \rho u}{R_0 - 2(\xi \gamma + 2\mathcal{J} - \xi)Wt} = 0, \label{l13} \\
\frac{\partial u}{\partial \xi} \frac{(\xi \gamma + 2\mathcal{J} - \xi)}{(\gamma - 1)t} - \frac{\partial u}{\partial t} - \frac{\partial u}{\partial \xi} \frac{2   u}{(\gamma - 1)Wt} - \notag \\
- \frac{\partial p}{\partial \xi} \frac{2}{(\gamma - 1)Wt\rho}  = 0, \label{l14} \\ 
\frac{\partial p}{\partial \xi} \frac{(\xi \gamma + 2\mathcal{J} - \xi)}{(\gamma - 1)t} + \frac{\partial p}{\partial t} + \frac{\partial p}{\partial \xi} \frac{2   u}{(\gamma - 1)Wt} - \notag \\
- \frac{\Gamma p}{\rho (1 - \rho \theta)} \Bigg (- \frac{\partial \rho}{\partial t} + \frac{\partial \rho}{\partial t} \frac{2   u}{(\gamma - 1)Wt} \Bigg) = 0.
\label{l15}
\end{gather}


Пусть $\chi$ -- расстояние между фронтом ударной волны и исходным положением поршня, то есть $\chi=R_{0}-R$. Тогда на ударной волне ~(\ref{l11}) и поршне ~(\ref{l12}) граничные условия будут соответственно.
\begin{gather}
u=\frac{2\left(1-Z_{0}\right)}{\Gamma+1} \dot{\chi}, \quad \rho=\frac{\Gamma+1}{\Gamma-1+2 Z_{0}}\rho_0, \\ \notag
p=\frac{2\left(1-Z_{0}\right)}{\Gamma+1}\rho_0 \dot{\chi}^2.   
\label{l16}
\end{gather}


Коэффициенты аппроксимации $m$-го порядка аппроксимации находятся путем решения полученной системы линейных алгебраических уравнений. Вплоть до приближения второго порядка положение ударной волны определяется выражением:

\begin{align}
\chi(t) & =  \frac{\Gamma+1}{2\left(1-Z_{0}\right)} t - \notag \\
& - \frac{\alpha \Gamma(-\Gamma-3+2\Gamma  \mathcal{J}+2\mathcal{J}+\Gamma \gamma + \gamma)}{4\left(-1+Z_{0}\right)\left(2 \Gamma-1+Z_{0}(2-\Gamma)-\theta(\Gamma+1)\right)} t^{2}+\cdots .
\label{l17}
\end{align}



\section{Локальное сингулярное решение}

Показатели $\alpha_{i}$ и амплитуды $A_{i}$, полученные в результате предыдущей процедуры для различных $\alpha, \gamma, K_{p}, \sigma$ и $G_{0}$ для сферического поршня при $\delta = 0$ из ~(\ref{l1}) (случай постоянной плотности), представлены в соответствии с таблицей~\ref{tb1}.

\begin{table}[H]
\caption{Значения показателей автомодельности и соответствующие амплитуды для различных значений $\alpha, \gamma, K_{p} , \sigma$ и $G_0$}
%\footnotesize
\label{tb1}
\tabcolsep=0.11cm
\begin{tabular}{@{}ccccccc@{}}
\thead{$\alpha$}  &  \thead{$\gamma$}  &  \thead{$K_p$}  &  \thead{$\sigma$} &  \thead{$G_0$} & \thead{Показатели автомодельности} & \thead{Соответствующие амплитуды}
 \\ \hline
1 & 7/5 & 0.1 & 0.5 & 100 & $\delta_{1}$ = 0.833 254 584 556 & $A_1$ = 0.986 412 834 269 \\
 & & & &  & $\delta_{2}$ = 2.153 749 692 268 & $A_2$ = 0.018 487 057 228 \\
 & & & 1 & 100 & $\delta_{1}$ = 0.834 336 964 891 & $A_1$ = 0.984 979 802 383 \\
  & & &  & & $\delta_{2}$ = 2.131 274 323 024 & $A_2$ = 0.019 798 736 377 \\
 & & 0.4 & 0.5 & 100 & $\delta_{1}$ = 0.808 787 232 445 & $A_1$ = 0.961 003 176 529 \\
   & & &  & & $\delta_{2}$ = 1.942 305 921 229 & $A_2$ = 0.044 572 868 062 \\
   & & &  & & $\delta_{3}$ = 2.967 067 437 070 & $A_3$ = 0.002 153 221 829 \\
   & & & 1 & 100 & $\delta_{1}$ = 0.840 689 718 266 & $A_1$ = 0.935 714 896 156 \\
& & &  & & $\delta_{2}$ = 1.743 269 142 194 & $A_2$ = 0.067 104 800 368 \\
& 5/3 & 0.1 & 0.5 & 100 & $\delta_{1}$ = 0.815 342 784 484 & $A_1$ = 0.995 304 435 970 \\
& & &  & & $\delta_{2}$ = 2.249 505 328 418 & $A_2$ = 0.010 115 528 712 \\ 
& &  &  & 1000 & $\delta_{1}$ = 0.819 106 105 433 & $A_1$ = 0.996 095 926 406 \\
& & &  & & $\delta_{2}$ = 2.280 311 886 567 & $A_2$ = 0.009 267 667 225 \\
& &  & 1 & 100 & $\delta_{1}$ = 0.818 230 697 130 & $A_1$ = 0.993 874 968 513 \\
& & &  & & $\delta_{2}$ = 2.224 025 432 253 & $A_2$ = 0.011 441 905 298 \\
& & 0.4 & 0.5 & 100 & $\delta_{1}$ = 0.807 463 861 377 & $A_1$ = 0.981 537 383 198 \\
& & &  & & $\delta_{2}$ = 2.015 903 610 207 & $A_2$ = 0.023 708 752 527 \\
& &  & 1 & 100 & $\delta_{1}$ = 0.809 030 575 832 & $A_1$ = 0.968 665 653 853 \\
& & &  & & $\delta_{2}$ = 1.914 825 641 119 & $A_2$ = 0.036 272 172 869 \\
\end{tabular}
\end{table}


\begin{table}[H]
\caption*{Продолжение таблицы 3.1}
%\footnotesize
\tabcolsep=0.11cm
\begin{tabular}{@{}ccccccc@{}}
\thead{$\alpha$}  &  \thead{$\gamma$}  &  \thead{$K_p$}  &  \thead{$\sigma$} &  \thead{$G_0$} & \thead{Показатели автомодельности} & \thead{Соответствующие амплитуды}
 \\ \hline
 2 & 7/5 & 0.1 & 0.5 & 100 & $\delta_{1}$ = 0.710 941 570 423 & $A_1$ = 0.985 193 476 685 \\
& & &  & & $\delta_{2}$ = 2.009 017 272 469 & $A_2$ = 0.019 336 843 428 \\
& &  & 1 & 100 & $\delta_{1}$ = 0.720 095 063 566 & $A_1$ = 0.930 714 357 999 \\
& & &  & & $\delta_{2}$ = 1.006 271 652 990 & $A_2$ = 0.062 721 972 350 \\
& & &  & & $\delta_{3}$ = 2.513 495 463 476 & $A_3$ = 0.016 991 323 411 \\
& & 0.4 & 0.5 & 100 & $\delta_{1}$ = 0.675 112 519 892 & $A_1$ = 0.952 232 231 788 \\
& & &  & & $\delta_{2}$ = 1.892 968 411 307 & $A_2$ = 0.052 233 397 269 \\
 & & & 1 & 100 & $\delta_{1}$ = 0.709 162 635 838 & $A_1$ = 0.932 742 834 280 \\
& & &  & & $\delta_{2}$ = 1.871 158 370 846 & $A_2$ = 0.070 206 959 309 \\
& 5/3 & 0.1 & 0.5 & 100 & $\delta_{1}$ = 0.689 457 584 091 & $A_1$ = 0.998 029 386 312 \\
& & &  & & $\delta_{2}$ = 2.620 677 232 521 & $A_2$ = 0.010 958 350 351 \\
& & & 1 & 100 & $\delta_{1}$ = 0.693 292 150 347 & $A_1$ = 0.996 412 081 019 \\
& & &  & & $\delta_{2}$ = 2.552 719 686 211 & $A_2$ = 0.012 355 148 677 \\
& & 0.4 & 0.5 & 100 & $\delta_{1}$ = 0.670 665 474 777 & $A_1$ = 0.972 887 604 981 \\
& & &  & & $\delta_{2}$ = 1.692 068 381 272 & $A_2$ = 0.028 780 798 118 \\
& & &  & & $\delta_{3}$ = 2.967 319 328 539 & $A_3$ = 0.008 368 225 404 \\
& & 1 &  & 100 & $\delta_{1}$ = 0.677 764 174 850 & $A_1$ = 0.963 576 270 671 \\
& & &  & & $\delta_{2}$ = 1.976 921 157 740 & $A_2$ = 0.041 764 290 524 \\

\end{tabular}
\end{table}




\section{Результаты расчетов и выводы}

Переменные потока, а именно скорость, плотность и давление, а также траектория ударной волны графически показаны в соответствии с рисунком~(\ref{pic_set}), чтобы лучше понять влияние показателя адиабаты $\gamma$, кривизны волнового фронта $\alpha$ и различных параметров запыленного газа, таких как $K_{p}, G_{0}$ и $\sigma$. Аналогичные графики построены и для цилиндрической волны, соответствующие рисунки приведены в приложении А.

В соответствии с рисунком~\ref{pic_set} с панелью (а)-(г) красная линия -- график при заданных параметрах $\alpha =2$, $\gamma=7/5, K_p=0.4,$ $\sigma=0.5, G_0=100$; синяя пунктирная линия -- график при заданных параметрах $\alpha =2$, $\gamma=7/5, K_p \?= 0.1,$ $\sigma=0.5, G_0=100$; черная пунктирная линия -- график при заданных параметрах $\alpha =2$, $\gamma=7/5, K_p=0.4,$ $\sigma=1, G_0=100$.

\begin{figure}[H]
\begin{minipage}[h]{0.49\linewidth}
    \center{\includegraphics[width=1\linewidth]{1}} \\ (а)
    \end{minipage}
    \hfill
    \begin{minipage}[h]{0.49\linewidth}
    \center{\includegraphics[width=1\linewidth]{2}} \\ (б)
\end{minipage}
\end{figure}
\begin{figure}[H]
\begin{minipage}[h]{0.49\linewidth}
    \center{\includegraphics[width=1\linewidth]{3}} \\ (в)
    \end{minipage}
    \hfill
    \begin{minipage}[h]{0.49\linewidth}
    \center{\includegraphics[width=1\linewidth]{4}} \\ (г)
\end{minipage}
\caption{Профили потока (а) траектории ударной волны, (б) скорости, (в) плотности, (г) давления при $\delta = 0$}
\label{pic_set}
\end{figure}

В соответствии с рисунком~\ref{pic_set} с панелью (а)-(г) наблюдается влияние $K_{p}$ при постоянном $G_0 = 100$ на профили переменных потока и траекторию ударной волны: чем больше $K_{p}$, тем больше траектория ударной волны и меньше время ударного схлопывания, а плотность и давление уменьшается. Также было показано, что увеличение параметра $K_{p}$ при сохранении других параметров фиксированными приводит к увеличению $t_{c}$ (времени ударного схлопывания). Это также продемонстрированно в соответствии с таблицей~\ref{tb1}. 

В соответствии с таблицей~\ref{tb2} сформирована таблица для оценки времени, затраченного волной на разрушение.


\begin{longtable}{@{} | l | c | c | @{}}
\caption{Результаты численных экспериментов для различных способов интерполяции} \\
\textbf{Метод} & \textbf{Сетка} & \textbf{Погрешность} \\
\hline
\endfirsthead
\multicolumn{3}{l}{\hspace*{-5em}Продолжение таблицы 3.1}\\
\textbf{Метод} & \textbf{Сетка} & \textbf{Погрешность} \\
\hline
\endhead
\hline
% Способ 1
Способ 1 центр $(h/3, h/3)$      & $h=1.000$ & --- \\
Способ 1 $(h/3, h/2)$            & $h=1.000$ & --- \\
Способ 1 $(h/4, h/2)$            & $h=1.000$ & --- \\
% Способ 2
Способ 2 центр $(h/3, h/3)$      & $h=1.000$ & $9.932\times10^{-1}$ \\
% Способ 3
Способ 3 центр $(h/3, h/3)$      & $h=1.000$ & $9.932\times10^{-1}$ \\
% Способ 4
Способ 4 центр $(h/3, h/3)$      & $h=1.000$ & $9.932\times10^{-1}$ \\
Способ 4 $(h/2, h/4)$            & $h=1.000$ & $9.932\times10^{-1}$ \\
Способ 4 $(h/4, h/3)$            & $h=1.000$ & $9.932\times10^{-1}$ \\
Способ 4 $(h/3, h/4)$            & $h=1.000$ & $9.932\times10^{-1}$ \\
% Способ 5
Способ 5 центр $(h/3, h/3)$      & $h=1.000$ & $1.147\times10^{0}$ \\
Способ 5 $(h/4, h/2)$            & $h=1.000$ & $9.932\times10^{-1}$ \\
Способ 5 $(h/3, h/4)$            & $h=1.000$ & $1.586\times10^{0}$ \\
\hline
% h = 0.500
Способ 1 центр $(h/3, h/3)$      & $h=0.500$ & --- \\
Способ 1 $(h/3, h/2)$            & $h=0.500$ & --- \\
Способ 1 $(h/4, h/2)$            & $h=0.500$ & --- \\
Способ 2 центр $(h/3, h/3)$      & $h=0.500$ & $1.067\times10^{-1}$ \\
Способ 3 центр $(h/3, h/3)$      & $h=0.500$ & $1.067\times10^{-1}$ \\
Способ 4 центр $(h/3, h/3)$      & $h=0.500$ & $1.067\times10^{-1}$ \\
Способ 4 $(h/2, h/4)$            & $h=0.500$ & $1.067\times10^{-1}$ \\
Способ 4 $(h/4, h/3)$            & $h=0.500$ & $1.067\times10^{-1}$ \\
Способ 4 $(h/3, h/4)$            & $h=0.500$ & $1.067\times10^{-1}$ \\
Способ 5 центр $(h/3, h/3)$      & $h=0.500$ & $1.223\times10^{-1}$ \\
Способ 5 $(h/4, h/2)$            & $h=0.500$ & $1.072\times10^{-1}$ \\
Способ 5 $(h/3, h/4)$            & $h=0.500$ & $1.724\times10^{-1}$ \\
\hline
% h = 0.250
Способ 1 центр $(h/3, h/3)$      & $h=0.250$ & --- \\
Способ 1 $(h/3, h/2)$            & $h=0.250$ & --- \\
Способ 1 $(h/4, h/2)$            & $h=0.250$ & --- \\
Способ 2 центр $(h/3, h/3)$      & $h=0.250$ & $7.564\times10^{-3}$ \\
Способ 3 центр $(h/3, h/3)$      & $h=0.250$ & $7.564\times10^{-3}$ \\
Способ 4 центр $(h/3, h/3)$      & $h=0.250$ & $7.564\times10^{-3}$ \\
Способ 4 $(h/2, h/4)$            & $h=0.250$ & $7.564\times10^{-3}$ \\
Способ 4 $(h/4, h/3)$            & $h=0.250$ & $7.564\times10^{-3}$ \\
Способ 4 $(h/3, h/4)$            & $h=0.250$ & $7.564\times10^{-3}$ \\
Способ 5 центр $(h/3, h/3)$      & $h=0.250$ & $8.666\times10^{-3}$ \\
Способ 5 $(h/4, h/2)$            & $h=0.250$ & $7.613\times10^{-3}$ \\
Способ 5 $(h/3, h/4)$            & $h=0.250$ & $1.226\times10^{-2}$ \\
\hline
% h = 0.125
Способ 1 центр $(h/3, h/3)$      & $h=0.125$ & --- \\
Способ 1 $(h/3, h/2)$            & $h=0.125$ & --- \\
Способ 1 $(h/4, h/2)$            & $h=0.125$ & --- \\
Способ 2 центр $(h/3, h/3)$      & $h=0.125$ & $4.877\times10^{-4}$ \\
Способ 3 центр $(h/3, h/3)$      & $h=0.125$ & $4.877\times10^{-4}$ \\
Способ 4 центр $(h/3, h/3)$      & $h=0.125$ & $4.877\times10^{-4}$ \\
Способ 4 $(h/2, h/4)$            & $h=0.125$ & $4.877\times10^{-4}$ \\
Способ 4 $(h/4, h/3)$            & $h=0.125$ & $4.877\times10^{-4}$ \\
Способ 4 $(h/3, h/4)$            & $h=0.125$ & $4.877\times10^{-4}$ \\
Способ 5 центр $(h/3, h/3)$      & $h=0.125$ & $5.587\times10^{-4}$ \\
Способ 5 $(h/4, h/2)$            & $h=0.125$ & $4.910\times10^{-4}$ \\
Способ 5 $(h/3, h/4)$            & $h=0.125$ & $7.906\times10^{-4}$ \\
\hline
% Способы на триангуляции
Способ 8                          & $4\times4$   & $9.458\times10^{-2}$ \\
Способ 10                         & $4\times4$   & $4.626\times10^{-3}$ \\
Способ 8                          & $8\times8$   & $2.329\times10^{-2}$ \\
Способ 10                         & $8\times8$   & $5.015\times10^{-4}$ \\
Способ 8                          & $16\times16$ & $5.746\times10^{-3}$ \\
Способ 10                         & $16\times16$ & $6.682\times10^{-5}$ \\
\end{longtable}


\begin{table}[H]
\caption{Значения $t_c$ -- время, затраченное волной на разрушение}
%\footnotesize
%\tabcolsep=0.11cm
\label{tb2}
\begin{tabular}{@{}ccccccc@{}}
\thead{$\delta$} & \thead{$\gamma$}  &  \thead{$K_p$}  &  \thead{$\sigma$} &  \thead{$G_0$} & \thead{$t_c (\alpha =1)$} & \thead{$t_c (\alpha =2)$} 
 \\ \hline
 0 &7/5 & 0.1  & 0.5 & 100 &  0.72177395 & 0.62740295  \\
 & &   & 1 & 100 & 0.73243908 & 0.63835144  \\
 & & 0.4  & 0.5 & 100 &  0.74642077 & 0.64251767  \\
&  &   & 1 & 100 & 0.77380781 & 0.61712052  \\
& 5/3 & 0.1  & 0.5 & 100 & 0.63570910 & 0.54165310  \\ 
&  &   & 1 & 100 & 0.65094583 & 0.55650726 \\ 
& & 0.4  & 0.5 & 100 &  0.68426930 & 0.58296737  \\ 
& &   & 1 & 100 & 0.72810037 & 0.62404802  \\  
0.6 &7/5 & 0.1  & 0.5 & 100 & 0.66890123  & 0.58771302  \\
 & &   & 1 & 100 & 0.67985102 & 0.59823726  \\
 & & 0.4  & 0.5 & 100 & 0.70644894  & 0.58236042  \\
& 5/3 & 0.1  & 0.5 & 100 & 0.58313712 & 0.50285608  \\ 
&  &   & 1 & 100 & 0.59803641 & 0.51723828 \\ 
& & 0.4  & 0.5 & 100 & 0.63889719  & 0.55298027  \\ 
& &   & 1 & 100 & 0.68638641 & 0.57793804  \\  
1 &7/5 & 0.1  & 0.5 & 100 & 0.63703254  &  0.56806570  \\
 & &   & 1 & 100 & 0.64816377 & 0.56806570  \\
 & & 0.4  & 0.5 & 100 & 0.67531998  & 0.58315212  \\
&  &   & 1 & 100 & 0.77537978 &  0.23456609
\end{tabular}
\end{table}



\chapter{Еще один пример математического текста}

\section{Деление целых чисел}

\begin{proposition} \emph{(Принцип полной упорядоченности).}
Пусть $k_0$ -- произвольное целое число. Тогда всякое непустое множество
целых чисел $ \geq k_0$, имеет наименьший элемент.
\end{proposition}
\begin{proof}
Докажем, что всякое множество целых чисел $ \geq k_0$, неимеющее
наименьшего элемента, должно быть пустым. Пусть $S$ -- множество
целых чисел $ \geq k_0$  без наименьшего элемента. Предположим
$S$ не содержит целых чисел $ \leq k$. При $k = k_0$ это утверждение
истинно, иначе бы $S$ имела наименьший элемент $k_0$. Пусть это
утверждение верно для $k = n$. Тогда $S$ не содержит элементов
$ \leq k = n+1$, иначе $n+1$ наименьший элемент. Поскольку $n$
произвольно, значит $S$ пустое множество.
\end{proof}

Одно из основных свойств целых чисел -- это свойство \emph{делимости}
или \emph{евклидовости}.
\begin{theorem}\emph{(Свойство евклидовости).}
Для любого $a$ и любого $b \neq 0$ существуют единственные (целые)
\emph{частное} $q$ и \emph{остаток} $r$, такие, что
$a=b\cdot q + r, \ 0 \leq r < |b|$
\end{theorem}
\begin{proof}
Рассмотрим множество целых чисел вида $a-kb$, где $k$ пробегает все множество
целых чисел
\begin{eqnarray*}
 \ldots, a -2b, a-b , a, a+b, a+2b,  \ldots
\end{eqnarray*}
Выберем в этой последовательности наименьшее неотрицательное
число и обозначим его $r$, и пусть $q$ обозначает соответствующее
значение $k$. Такое $r$ существует, потому что множество $\{ a-kb\}$
содержит отрицательные и неотрицательные значения, а из принципа полной
упорядоченности следует, что непустое множество неотрицательных целых
чисел содержит наименьший элемент. По определению $r=a - qb$.

Для доказательства единственности допустим, что
\begin{eqnarray*}
a=b\cdot \hat q + \hat r, \ 0 \leq \hat r < |b|
\end{eqnarray*}
и что $\hat r \neq r$. Пусть для определенности $\hat r < r$, так что
$0 < r - \hat r < |b|$, тогда
\begin{eqnarray*}
  r - \hat r = (\hat q - q)b
\end{eqnarray*}
и $b \mid (r - \hat r)$, что противоречит неравенствам
$0 < r - \hat r < |b|$.
\end{proof}

\section{Алгоритм Евклида}

Основой алгоритма Евклида служит
следующий факт: если $d \mid a$ и $d \mid b$, то $d \mid (a - b \cdot q)$ для
любого целого $q$. В частности, если выбрать в качестве
$d = \gcd(a, b)$ и  $q = a/b$, при $b \neq 0$, получим
$\gcd(a, b) = \gcd(a, a-bq) = \gcd(a, a \mod b)$. Если $b = 0$,
то по определению наибольшего общего делителя имеем
$\gcd(a, 0) = a$. В результате имеем следующий алгоритм:

\begin{Verbatim}[fontsize=\small,numbers=left,firstnumber=last,xleftmargin=7mm]
def Euclid(a, b):
  assert a != 0 or b != 0
  while b != 0:
    a, b = b, a % b
  return a
\end{Verbatim}
Обоснованием окончания алгоритма служит тот факт, что во-время выполнения
из $a \geq b$ следует $a > a \mod b$ по определению остатка от деления.

Для различных приложений очень важно уметь представлять
наибольший общий делитель чисел $a$ и $b$ в виде соотношения
Безу $\gcd(a, b) = ax+by$. Для этого можно воспользоваться
алгоритмом Евклида поскольку остаток от деления, на
каждом шаге алгоритма, можно представить в виде линейной
комбинации делителя и делимого. В качестве иллюстрации
рассмотрим  следующую последовательность
\begin{eqnarray*}
\begin{array}{ll}
a_0 = a, & a_0 = a x_0 + b y_0, \\
a_1 = b, & a_1 = a x_1 + b y_1, \\
a_2 = a_0 - a_1 q_1, & a_2 = a x_2 + b y_2, \\
\ldots & \\
a_i = a_{i-2} - a_{i-1} q_{i-1}, \quad & a_i = a x_i + b y_i, \\
\ldots & \\
a_k = a_{k-2} - a_{k-1} q_{k-1}, & a_k = a x_k + b y_k, \\
0 = a_{k-1} - a_{k} q_{k}, & 0 = a x_{k+1} + b y_{k+1}
\end{array}
\end{eqnarray*}
Очевидно, что $x_0 = 1, y_0 = 0$ и $x_1 = 0, y_1 = 1$. Сравнивая
обе части на $i$-м шаге, имеем
\begin{eqnarray*}
 a x_i + b y_i &=& a_{i-2} - a_{i-1} q_{i-1} = \\
       &=& (a x_{i-2} + b y_{i-2}) - (a x_{i-1} + b y_{i-1}) q_{i-1} = \\
   &=& a (x_{i-2} - x_{i-1} q_{i-1})
     + b (y_{i-2}) - y_{i-1} q_{i-1}).
\end{eqnarray*}
В результате имеем следующий алгоритм называемый
расширенным алгоритмом Евклида:
\begin{Verbatim}[fontsize=\small,frame=leftline]
def EuclidExt(a, b):
  assert a != 0 or b != 0
  a0, a1, b0, b1 = 1, 0, 0, 1
  while b != 0:
    q, r = divmod(a, b)
    a, b = b, r
    a0, a1, b0, b1 = b0, b1, a0 - q*b0, a1 - q*b1
  return (a, a0, a1)
\end{Verbatim}

\section{Непрерывные дроби}
Алгоритм Евклида тесным образом связан с \emph{непрерывными} или
\emph{цепными дробями}. Рассмотрим произвольную рациональную дробь,
записанную в несократимом виде $a_0/a_1$. Применив к паре  $a_0, a_1$
алгоритм Евклида получим
\begin{eqnarray*}
\begin{array}{ll}
  a_0 = a_1\, c_0 + a_2, &  0 < a_2 < a_1, \\
  a_1 = a_2\, c_1 + a_3, &  0 < a_3 < a_2, \\
  \ldots \\
  a_{k-2} = a_{k-1}\, c_{k-2} + a_k, \quad  & 0 < a_{k} < a_{k-1}, \\
  a_{k-1} = a_{k}\, c_{k-1}. &
\end{array}
\end{eqnarray*}
В результате получим следующие каноническое представление для
рациональных дробей; если использовать условие $c_{k-1} > 1$
поскольку $a_{k} < a_{k-1}$
\begin{eqnarray}
 \frac{a_0}{a_1}= c_0 + /c_1, c_2, \ldots, c_n  / = \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle c_1
 + \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle c_2
 + \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle \ddots \qquad
   \frac{\vphantom{\vdots} \displaystyle 1}{\displaystyle c_{n-1}
 + \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle c_n}}}}}.
\end{eqnarray}
Числа $c_j$  называют \emph{неполными частными}.
\begin{definition}
Полином, определяемые следующими правилами
\begin{eqnarray*}
 Q_n(c_1, c_2, \ldots, c_n) = \left\{
  \begin{array}{lr}
    1,   & \mbox{при } n = 0; \\
    c_1, & \mbox{при } n = 1; \\
   c_1 \, Q_{n-1}(x_2, \ldots, x_n) + & \\
    \hphantom{+++} + Q_{n-2}(x_3, \ldots, x_n) & \mbox{при } n > 0.
  \end{array}
 \right.
\end{eqnarray*}
называются <<континуантами>> или $Q$-многочленами.
\end{definition}
Нам также потребуются числа Фибоначчи определяемые по правилам:
\begin{eqnarray*}
  \mathcal{F}_{n} = \left\{
  \begin{array}{lr}
    1,   & \mbox{при } n = 1; \\
    1, & \mbox{при } n = 2; \\
  \mathcal{F}_{n-1} + \mathcal{F}_{n-2}& \mbox{при } n > 2.
  \end{array}
 \right.
\end{eqnarray*}

\conclusions

Заключение, как правило, должно содержать: 
\begin{itemize}
\item основные результаты работы и краткие выводы по ним;
\item оценку полноты решений поставленных задач;
\item рекомендации по использованию результатов работы;
\item результаты оценки эффективности предложенных решений и сопоставление с лучшими достижениями в данной области.
\end{itemize}







% Оформляем библиографию в соответствии с ГОСТ 7.0.5
% \bibliographystyle{ugost2008}
% если хотим включить все источники из библиографии даже не имеющие ссылки из текта
% \nocite{*}
% файл с библиографией
% \bibliography{biblio.bib}

\newpage
\begin{thebibliography}{99}
\bibitem{bib1} Chaussy, C. G. Extracorporeal shockwave lithotripsy (ESWL): A chronology / C. G. Chaussy, F. Eisenberger, B. Forssmann // J. Endourol. - 2007. - Vol. 21. - P. 1249–1253.
\bibitem{bib2} Guderley, G. Starke kugelige und zylindrische Verdichtungsstosse in der Nahe des Kugelmittelpunktes bzw der Zylinderachse / G. Guderley // Luftfahrtforschung. - 1942. - Bd. 19., Lfg. 9. - P. 302–312.
\bibitem{bib3} Pai, S. I. Two-Phase Flows (Vieweg Tracts in Pure and Applied Physics) / S. I. Pai // Vieweg Verlag. - 1977. - Vol. 3. - Chap. V.
\bibitem{bib4} Anand, R. K. The propagation of shock waves in a channel of variable cross section containing a dusty gas / R. K. Anand // Phys. Scr. - 2012. - Vol. 86.
\bibitem{bib5} Vandyke, M. The converging shock wave from a spherical or cylindrical piston / M. Vandyke, A. J. Guttmann // J. Fluid Mech. - 1982. - Vol. 120. - P. 451–462.
\bibitem{bib6} Singh, D. Piston driven converging cylindrical shock waves in a non-ideal gas with azimuthal magnetic field / D. Singh, R. Arora // Phys. Fluids. - 2020. - Vol. 32.
\bibitem{bib7} Baker, G. A. Methods of series analysis. II. Generalized and extended methods with applications to the Ising model / G. A. Baker, D. L. Hunter // Phys. Rev. - 1973. - Vol. B7. - P. 3377–3392.
\bibitem{bib8} Baker, G. A. The theory and application of the Pade approximant method / G. A. Baker // Advances in Theoretical Physics. - Vol. 1. - P. 1–58.
\bibitem{bib9} Говорухин, В.Н. Введение в Maple. Математический пакет для всех / В.Н. Говорухин. – М. : Мир, 1997. - 208 с.
\bibitem{bib10} Прохоров, В.Г. Математический пакет Maple V release 4 / В.Г. Прохоров. – Калуга : Облиздат, 1998. - 200 с.
\bibitem{bib11} Hirschler, T. A self-similar solution for implosion problem in a dusty gas / T. Hirschler, H. Steiner // Fluid Dyn. Res. - 2003. - Vol. 32. - P. 61–67.
\bibitem{bib12} Steiner, H. A self-similar solution of a shock propagation in a dusty gas / H. Steiner, T. Hirschler // Eur. J. Mech. B. Fluids. - 2002. - Vol. 21. - P. 371–380.
\bibitem{bib13} Anand, R. K. On dynamics of imploding shock waves in a mixture of gas and dust particles / R. K. Anand // Int. J. Non Linear Mech. - 2014. - Vol. 65. - P. 88–97.
\bibitem{bib14} Vishwakarma, J. P. A self-similar solution of a shock propagation in a mixture of a non-ideal gas and small solid particles / J. P. Vishwakarma, G. Nath // Meccanica. - 2009. - Vol. 44. - P. 239–254.
\bibitem{bib15} Madhumida, G. Propagation of strong converging shock waves in a gas of variable density / G. Madhumida, V. D. Sharma // Journal of Engineering Mathematics. - 2003. - Vol. 46. - P. 55-68.
\bibitem{bib16} Chisnell, R. F. The normal motion of a shock wave through a non-uniform
one-dimensional medium / R. F. Chisnell // Proc. R. Soc. London. - 1955. - Vol. 232. - N. 1190. - P. 350–370.
\bibitem{bib17} Lazarus, R.B. Similarity solutions for converging shocks / R.B. Lazarus, R.D. Richtmeyer. - Los Alamos, New Mexico : Scientific Lab of the University of California, 1977. - P. 27.
\bibitem{bib18} Chadha, M. Singular surface and steepening of waves in a
non-ideal gas with dust particles / M. Chadha, J. Jena // Comput. Appl. Math. - 2015. - Vol. 34. - P. 729–739.
\bibitem{bib19} Chadha, M. Self-similar solutions and converging shocks in a
non-ideal gas with dust particles / M. Chadha, J. Jena // Int. J. Non Linear Mech. - 2014. - Vol. 65. - P. 164–172.
\bibitem{bib20} Jena, J. Self-similar shocks in a dusty gas / J. Jena, V. D. Sharma // Int. J. Non
Linear Mech. - 1999. - Vol. 34. - P. 313–327.

\end{thebibliography}


\Appendix

\chapter{Результаты расчетов параметров газа для цилиндрических волн}

\begin{table}[H]
\caption{Значения коэффициентов $\chi_m$ для положения удара цилиндрической волны $\delta = 0$}
\tabcolsep=0.11cm
\begin{tabular}{@{}l|l|l|l|l@{}}
\thead{m}  &  \thead{Цилиндрическая ($\alpha =1$)\\ $\gamma=7/5, K_p=0.1,$ \\ $\sigma=0.5, G_0=100$, \\ $\delta = 0.0$}  &  \thead{Цилиндрическая ($\alpha =1$)\\ $\gamma=7/5, K_p=0.4,$ \\ $\sigma=0.5, G_0=100$, \\ $\delta = 0.0$}  &  \thead{Цилиндрическая ($\alpha =1$)\\ $\gamma=7/5, K_p=0.1,$ \\ $\sigma=1, G_0=100$, \\ $\delta = 0.0$} &  \thead{
Цилиндрическая ($\alpha =1$)\\ $\gamma=7/5, K_p=0.4,$ \\ $\sigma=1, G_0=100$, \\ $\delta = 0.0$}
\\ \hline
1    & 0.0883504243 & 0.0713246040 & 0.0824676473 & 0.0554430287 \\
2    & 0.0706092520 & 0.0621731535 & 0.0661104345 & 0.0500399421   \\
3    & 0.0562168063 & 0.0524477435 & 0.0523521643 & 0.0432983113   \\
4    & 0.0481327049 & 0.0452432795 & 0.0441895872 & 0.0372618876   \\
5    & 0.0453487901 & 0.0415533811 & 0.0409163119 & 0.0331823408 \\
6    & 0.0460879691 & 0.0409232920 & 0.0409099299 & 0.0313106084 \\
7    & 0.0492142429 & 0.0425043938 & 0.0430302661 & 0.0312505820   \\
8    & 0.0543321604 & 0.0457063423 & 0.0468075923 & 0.0324652991   \\
9    & 0.0615035082 & 0.0503356141 & 0.0522041931 & 0.0345935114   \\
10    & 0.0710367555 & 0.0564820284 & 0.0594037604 & 0.0375142822 \\
11    & 0.0834152654 & 0.0643899962 & 0.0687241672 & 0.0412737395 \\
12    & 0.0993066203 & 0.0744007424  & 0.0806099589 & 0.0459977211  \\
13    & 0.1196051875 & 0.0869543094 & 0.0956567159 & 0.0518466129  \\
14    & 0.1454920804 & 0.1026183355 & 0.1146474420 & 0.0590110354   \\
15    & 0.1785146696 & 0.1221244789 & 0.1385996533 & 0.0677266898  \\
16    & 0.2206932376 & 0.1464096717 & 0.1688278696 & 0.0782917290 \\
17     & 0.2746636378 & 0.1766670532 & 0.2070268683 & 0.0910814791 \\
18     & 0.3438666864 & 0.2144124560 & 0.2553814339 & 0.1065626685 \\
19    & 0.4327985967 & 0.2615714553 & 0.3167099041 & 0.1253110446 \\
20    & 0.5473418901 & 0.3205920270 & 0.3946514511 & 0.1480350241 \\
21    & 0.6952029025 & 0.3945893174 & 0.4939104421 & 0.1756065754  \\
22    & 0.8864907139 & 0.4875314501 & 0.6205755051 & 0.2091000893  \\
23    & 1.1344838754 & 0.6044782712 & 0.7825364569 & 0.2498404863 \\
24    & 1.4566467432 & 0.7518884935 & 0.9900295240 & 0.2994626938 \\
25    & 1.8759778607 & 0.9380151607 & 1.2563508973 & 0.3599854759 \\
26     & 2.4228004386 & 1.1734151523 & 1.5987913453 & 0.4339033633 \\
27    & 3.1371419112 & 1.4716060330 & 2.0398613526 & 0.5243012331 \\
28   & 4.0718989987 & 1.8499134393 & 2.6088983471 & 0.6349971249 \\
29   & 5.2970509467 & 2.3305650305 & 3.3441767845 & 0.7707202659  \\
30   & 6.9052724192 & 2.9421037093 & 4.2956804600 & 0.9373330697  \\

\end{tabular}
\end{table}


\begin{table}[H]
\caption{Таблица Невилла для оценки $1/t_c$ для цилиндрической волны $(\alpha =1)$ с $\gamma=7/5, K_p=0.1, \sigma=1, G_0=100$, $\delta = 1$  }
%\footnotesize
\tabcolsep=0.11cm
\begin{tabular}{@{}l|l|l|l|l|l@{}}
\thead{m}  &  \thead{$e^{o}_{m}$}  &  \thead{Линейный}  &  \thead{Квадратический} &  \thead{Кубический} & \thead{Квартальный}
 \\ \hline
26 &1.5394474802	& 1.5431317121	& 1.5390153008	& 1.5146344299	&1.4448915024	\\
27 &1.5397221510&	 1.5430182001	& 1.5421479419	& 1.5593774684	&1.4484134056	\\
28 &1.5399828869&	 1.5432420858&	 1.5450331710&	 1.5616232380	&1.4516923704	\\
29& 1.5402244199&	 1.5433643484	& 1.5443832034&	 1.5404833980&	1.4547525654	\\
30& 1.5404380281&	 1.5433217383&	 1.5429524513&	 1.5340102504&	1.4576150562\\
\end{tabular}
\end{table}

 	 		 

\chapter{Программный код для рассчета параметров течения газа}

\definecolor{bg}{rgb}{0.95,0.95,0.95}%определение цвета бэкграунда
\begin{minted}[fontsize=\footnotesize,bgcolor=bg,baselinestretch=1.5,linenos,mathescape,breaklines,frame=single]{c++}
restart:
with(PDETools): with(plots):
Digits := 31:
run := proc(pars, N)
  local zK, pde13, pde23, pde33, rh12, rh22, rh32,
        gam, Kp, sigma, G0, nu, m,
        Zeta0, lambda, Gam, rho_sp, theta,
        k, z0, exp_z1, expr_z1, zs, zsn, pbc12, X1, U11, G11, P11,
        Xn, Un, Rn, Pn, exp_u, exp_rho, exp_p,
        subs_u_z0, exp_X, subs_u_zs, subs_rho_zs, subs_p_zs,
        subs_1, subs_n,
        pde1_exp, pde2_exp, pde3_exp, pbc1_exp, rh1_exp, rh2_exp, rh3_exp,
        n, Uns, Rns, Pns, exp_Un, exp_Rn, exp_Pn,
        pde1_c, pde2_c, pde3_c, pbc1_c, rh1_c, rh2_c, rh3_c,
        q, vars_n, sys_n, sol_n, st0:
  
  zK := 1:
  
  m     := op( map(q -> `if`(convert(lhs(q), string) = "alpha", rhs(q), NULL), pars) ):
  nu    := op( map(q -> `if`(convert(lhs(q), string) = "delta", rhs(q), NULL), pars) ):
  gam   := op( map(q -> `if`(convert(lhs(q), string) = "gam",   rhs(q), NULL), pars) ):
  Kp    := op( map(q -> `if`(convert(lhs(q), string) = "Kp",    rhs(q), NULL), pars) ):
  sigma := op( map(q -> `if`(convert(lhs(q), string) = "sigma", rhs(q), NULL), pars) ):
  G0    := op( map(q -> `if`(convert(lhs(q), string) = "G0",    rhs(q), NULL), pars) ):
  
  Zeta0 := Kp / ((1 - Kp)*G0 + Kp):
  lambda := Kp / (1 - Kp):
  Gam := gam * (1 + lambda * sigma) / (1 + lambda * sigma * gam):
  rho_sp := G0 / 10:
  theta := Kp / rho_sp:
  
  k := -(Gam + 1)/(2*(-1 + Zeta0)) - gam/2 + 1/2:
  
  pde13 := -4*((gam/2 - 1/2)*z + k)*diff(rho(z, t), z)*(Gam - 1)*(t*z*(gam - 1)/2 + k*t - 1) + 2*(gam - 1)*diff(rho(z, t), t)*(Gam - 1)*(-1 + (1/2*z*gam + k - 1/2*z)*t)*t + 4*(Gam - 1)*(-1 + ((gam/2 - 1/2)*z + k)*t)*u(z, t)*diff(rho(z, t), z) + 4*rho(z, t)*(Gam - 1)*(-1 + ((gam/2 - 1/2)*z + k)*t)*diff(u(z, t), z) + 2*m*rho(z, t)*u(z, t)*t*(Gam - 1)*(gam - 1):
  pde23 := diff(u(z, t), z)*(gam*z + 2*k - z)*(Gam - 1)*rho(z, t)/(2*gam - 2) - diff(u(z, t), t)*t*(Gam - 1)*rho(z, t)/2 - u(z, t)*diff(u(z, t), z)*(Gam - 1)*rho(z, t)/(gam - 1) - diff(p(z, t), z)*(Gam - 1)/(gam - 1):
  pde33 := (-gam*z - 2*k + z)*rho(z, t)*diff(p(z, t), z)*(rho(z, t)*theta - 1) + diff(p(z, t), t)*t*rho(z, t)*(rho(z, t)*theta - 1)*(gam - 1) + 2*u(z, t)*diff(p(z, t), z)*rho(z, t)*(rho(z, t)*theta - 1) - 2*p(z, t)*((z*gam/2 + k - z/2 - u(z, t))*diff(rho(z, t), z) - diff(rho(z, t), t)*t*(gam - 1)/2)*Gam:
  
  rh12 := u_zs(t) + 2*(-1 + Zeta0)*diff(X(t), t)/(Gam + 1):
  rh22 := rho_zs(t) - (Gam + 1)*(1 - X(t))^nu/(Gam - 1 + 2*Zeta0):
  rh32 := p_zs(t) + 2*(-1 + Zeta0)*(1 - X(t))^nu*diff(X(t), t)^2/(Gam + 1):
  
  z0 := 2*(1 - k)/(gam - 1):
  pbc12 := u_z0(t)-1:
  
  expr_z1 := 2*(x/t - k)/(gam - 1):
  
  X1  := (Gam + 1)/(1 - Zeta0)/2:
  U11 := 1.0:
  G11 := (Gam + 1)/(Gam - 1 + 2*Zeta0):
  P11 := (Gam + 1)/(1 - Zeta0)/2:
  
  exp_u   := U11:
  exp_rho := G11:
  exp_p   := P11:
  exp_X   := X1*t:

\end{minted}




\end{document}
